LC電路無線充電──距離與頻率關係之探討
組員:陳孟葳、黃詩棋
前言
LC電路在諧振時可以產生最大電流，我們利用此特性，將無線充電的接收端加入電容形成LC電路，探討在與輸出端線圈距離不同以及輸出頻率不同時，接收端線圈感應電流的變化。
研究動機
現在雖然已經有無線充電的技術，但是在距離方面仍有一定限制。我們發現麻省理工學院的團隊在2007年時利用了「磁共振」技術可以有效拉長傳輸距離，其中利用到了LC諧振電路讓我們感到十分好奇，深入了解其原理後便想嘗試將它用在常見的傳輸方式上，探討是否可以增加有效的傳輸距離，以及高頻交流電對此的影響，於是開始了這次的研究。
研究目的
一、 了解LC諧振電路的特性
二、 了解示波器及任意函數訊號產生器使用方法
三、 探討高頻交流電對於LC諧振電路的諧振頻率及峰值的影響
四、 探討利用LC諧振電路進行無線充電時，不同頻率與傳輸距離之間的關係
研究設備及器材
實驗設備
實驗器材架設
主要架構分成輸出端及接收端（圖九），輸出端由任意函數訊號產生器及輸出端線圈組成，接收端由數位式示波器及高阻抗輸入被動式碳棒、電容及電阻、接收端線圈和測量線圈組成（圖十）。
輸出端線圈連接任意函數訊號產生器，並藉由交流電產生的磁場變化使接收端線圈產生電流，此時接收端線圈會與放置在其正中央的測量線圈產生互感，藉由測量串聯於測量線圈上的電阻電壓變化，可知其電流大小差異，並由此觀察接收端線圈的磁場變化。
研究過程及方法
實驗原理
有一交流電角頻率稱為驅動角頻率（w_d），在該驅動角頻率下
1. 電容器的容抗X_c表示為X_c = 1/(w_d * C)，若是純電容性負載的話會造成電流領先電位差峰值90度，即相位常數ϕ=+90度。
2. 電感器的容抗表示為X_L = w_d * L，而純電感性負載會造成電流落後電位差峰值90度，即相位常數ϕ=-90度。
RLC電路在最大感應電動勢epsilon_m驅動下，產生的電流振幅為I，表示為 $$ I = \frac{\epsilon_{m}}{Z} = \frac{\epsilon_{m}}{\sqrt{R^{2} + (X_L - X_C)^{2}}} $$
Z稱為電路對該角頻率的阻抗，可定義為$$ Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} $$
當感抗值與容抗值相等的時候，此RLC電路產生電流振幅的最大值，就可以視為一純電阻電路。$$ X_{L} = X_{C} $$ $$ \omega_{d}L = \frac{1}{\omega_{d}C} $$ $$ \omega_{d} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \omega $$
而相位常數 $$ \tan{\phi} = \frac{X_{L} - X_{C}}{R} $$在此情況下也等於0，所以電流與電動勢並沒有相位差。也就是說，當驅動角頻率等於固有角頻率時，I產生最大值，即處於共振狀態。
名詞定義
中心距離：中心距離定義為兩端線圈中央點（線圈於此點前後和左右對稱）間的距離。
接收端線圈：線圈串聯電容形成的LC電路，相對於輸出端線圈，並沒有外接電源。
測量線圈：作測量輸出端與接收端線圈磁場大小之用，也可視為應用時的被充電電路。
實驗設計及步驟
（一） 實驗步驟
1. 將輸出端線圈接上任意函數訊號產生器，測量線圈串聯電阻。
2. 將高阻抗輸入被動式探棒接上數位式示波器，並聯測量線圈電阻。
3. 將接收端線圈接上電容器，並將測量線圈置於接收端線圈中央。
4. 調整任意函數訊號產生器輸出頻率。
5. 將輸出端線圈置於距離測量線圈及接收端線圈前方，紀錄測量線圈產生之電壓均方根值。
6. 調整輸出端與接收端線圈之距離。
7. 調整任意函數訊號產生器之頻率。
8. 改變外接電容，重複步驟4到7共五次。
（二） 實驗一：測試能否直接以LC電路作為充電電路
實驗目的：測試直接使用LC電路與外加另一被充電電路相比何種傳輸方式有較好的效果。
實驗器材：木架、三個線圈、任意函數訊號產生器、數位式示波器、電容器、LED燈泡
控制變因：輸出端線圈與接收端線圈中心距離（8cm）、接收端線圈外加電容值（50.2pF）、頻率（8.7MHz）、線圈（如下表2）
操縱變因：LED燈泡串聯不同電路
實驗步驟：
1. 將LED燈泡串聯於測量線圈上，接收端線圈連接上電容以形成LC電路，任意函數訊號產生器接上輸出端線圈。
2. 調整任意函數訊號產生器之頻率，由諧振電路理論值上下調整，一次調整0.1MHz，找出使LED燈泡發光之頻率。固定此頻率，觀察LED燈泡發光之情形。
3. 將LED燈泡拆下，串聯在接收端線圈的LC電路中。
4. 觀察LED燈泡是否有發光，並記錄之。
（三） 實驗二：測量不同電容下產生峰值的頻率
實驗目的：測量LC電路共振頻率與理論頻率之差異，並作為後續實驗基礎。
實驗器材：木架、三個線圈、任意函數訊號產生器、數位式示波器、電容器、電阻、高阻抗輸入被動式探棒。
控制變因：接收端外加電容值（10.4pF、20.2pF、50.2pF、100.1pF、199pF）、測量線圈外接電阻（27Ω）、線圈（如下表3）
操縱變因：任意函數訊號產生器輸出之頻率
實驗步驟：
1. 將輸出端線圈接上任意函數訊號產生器，接收端線圈串聯10.4 pF的電容，測量線圈串聯27Ω的電阻。
2. 將高阻抗輸入被動式探棒接上數位式示波器，並聯測量線圈電阻。
3. 調整任意函數訊號產生器之頻率，由理論頻率扣除1MHz開始向上調整，一次調整0.1MHz，紀錄測量線圈之電壓最高峰值的均方根值及其頻率。
4. 由最高峰值頻率開始向上調整0.1MHz並記錄其電壓均方根值，直到高於最高峰值頻率1MHz。
5. 由最高峰值頻率開始向下調整0.1MHz並記錄其電壓均方根值，直到低於最高峰值頻率1MHz。
6. 改變接收端線圈電容，重複步驟3到5五次。
（四） 實驗三：以測量線圈測量不同頻率下輸出端磁場大小
實驗目的：測量輸出端磁場是否會因輸出頻率不同而有所差異並作為後面實驗基礎。
實驗器材：木架、兩個線圈、任意函數訊號產生器、數位式示波器、電容器、電阻、高阻抗輸入被動式探棒。
控制變因：測量線圈外接電組（27Ω）、線圈（如下表4）
操縱變因：任意函數訊號產生器頻率
（五） 實驗四：測量未加入接收端線圈（LC電路）情況下接收到的磁場大小
實驗目的：觀察在未加入接收端線圈（LC電路）情況下，測量線圈受輸出端線圈之影響。
實驗器材：木架、兩個線圈、任意函數訊號產生器、數位式示波器、電容器、電阻、高阻抗輸入被動式探棒
控制變因：測量線圈外接電組（27Ω）、線圈（如下表5）
操縱變因：線圈距離、任意函數訊號產生器頻率
（六） 實驗五：測量LC電路在不同頻率下磁場大小與輸出端距離的關係
實驗目的：觀察在不同輸出頻率及不同距離下接收端線圈產生之磁場大小差異。
實驗器材：木架、三個線圈、任意函數訊號產生器、數位式示波器、電容器、電阻、高阻抗輸入被動式探棒。
控制變因：接收端外加電容（10.4pF、20.2pF、50.2pF、100.1pF、199pF）、測量線圈外接電組（27Ω）、線圈（如下表6）
操縱變因：線圈距離、任意函數訊號產生器頻率
。研究結果
測試是否可以直接以LC電路作為充電電路
測量不同電容下產生峰值的頻率
由（表7）至（表11）及（圖8）至（圖12）的結果可以得知，雖然驅動頻率與LC電路的諧振頻率理論值有些許誤差，但誤差均在正負10%以內。將其互相比較可以發現，當電容值越高時，測量線圈測量到的峰值越明顯，隨頻率改變爬升及衰減的速度也越快。
以測量線圈測量不同頻率下輸出端磁場大小
由（圖13）可以發現，在頻率較低時測量線圈所感應出的電壓值較高。
測量未加入LC電路情況下接收到的磁場大小
由（圖14）可以得知，在沒有外加LC電路的情況下，測量線圈的感應電壓值隨距離增加而遞減。
測量LC電路在不同頻率下磁場大小與輸出端距離的關係
討論
一、 由（圖6）與（圖7）比較可得知，若直接將LED燈泡串聯在接收端線圈，LED燈泡並不會發亮；然若串聯在測量線圈上則可以發亮。
因為LC電路的感應電動勢相同，在共振情況下，串聯上LED燈泡的RLC電路可視為純電組負載，根據$$ I_{rms} = \frac{\epsilon_{rms}}{Z} $$可知，阻抗Z此時等於R，由於感應電動勢太小，電流太低，導致LED燈無法發光。若將LED燈泡串聯在測量線圈，形成RL電路，則可以和LC電路以互感的方式，使測量線圈產生感應電動勢，進而產生電流。由互感公式$$ \epsilon_{2} = - M_{21} \frac{di_{1}}{dt} $$可以知道，由於LC電路諧振頻率與驅動電動勢的頻率相同時具有最大電流，所以線圈的感應電動勢為最大值，而此感應電動勢在RL電路所產生之電流足以推動LED燈。
二、 輸出端輸出磁場與接收端接收磁場與輸出端對測量線圈影響的比較
為了探討接收端與輸出端的傳輸效率，我們將實驗四、五及實驗六的結果放在一起進行討論。我們主要研究不同電容的情況下，峰值產生於最遠距離的頻率。而在任何距離下，輸出端線圈磁場並不會產生改變，所以將其視為相同值，和接收端在不同距離下接收到輸出端傳送的能量來做比較。
由（圖二十九）到（圖三十三）我們可以觀察到，輸出端對測量線圈的影響會隨距離增加而下降，且不高於輸出端輸出的電壓值。但若在測量線圈側加上接收端線圈（LC電路），其電壓值會高於直接將測量線圈置於輸出端線圈內所測量到的電壓值，且接收端線圈與輸出端線圈距離小於20cm時皆符合此種情況。這現象代表在LC電路（接收端線圈）中心，磁場大小是大於輸出端線圈中心磁場的，推測是因為共振狀態下，LC電路的電流為最大值，因此產生較大的磁場。
同時，圖表上也可以看出加上接收端線圈（LC電路）的時候，在此頻率下出現電壓的最高值並不會像只有測量線圈（實驗五）的結果一樣出現在最短距離處，根據（圖二十九）到（圖三十三），我們可以推測這個現象和測量線圈是否直接被輸出端影響並沒有關係，而在討論四有更深入的探討。
三、 實驗六不同頻率下磁場大小與輸出端距離的關係
由於實驗數據太過龐雜，為了方便討論及細究其相關性，我們將不同電容的情況下，峰值產生於最遠距離的頻率為基準上下各取0.2MHz，用此五個頻率來觀察其變化趨勢，並發現到在五種不同電容，也就是諧振頻率不同的情況中，這五個共振頻率下測量線圈電壓對於距離的變化趨勢都非常類似：
（一）測量線圈之電壓值隨距離下降的趨勢都較其他來的緩和，就算其最高峰值並沒有特別突出，但在距離超過13公分以後，測量線圈的電壓值皆高於同組其他數據。
（二）同組電容內，較中間頻率高的兩個頻率電壓高峰值都非常突出，但持續距離皆較中間頻率低，電壓下降的趨勢較快。
（三）除了中間頻率以外的四個頻率，也就是同組電容下五個頻率中最高和最低，次高和次低兩組頻率在距離大於15公分後，測量線圈的電壓值幾乎相同。
（四）在距離8公分時有最高峰值的頻率，與實驗三的結果幾乎一樣（除電容10.4pF及電容20.2pF組），則此實驗具有再現性。
由此結果可以發現，就算在頻率相差三倍的情況下，此類趨勢都相同，可以應用及推廣。同時可以發現，越接近產生電壓最高值的頻率，其不同距離間的電壓值的差異越大。
四、 實驗六中不同距離不同頻率峰值的關係
（一） 在特定距離下產生最高峰值的頻率，在另一距離下不一定會產生其最高的峰值，也就是說，在不同距離下，接收端線圈產生最大電流的頻率不太相同。
（二） 一般而言，峰值符合一般認為隨距離增加而減少的趨勢，值得一提的是，這種趨勢最明顯的都是高於實驗三所測得的最高峰值頻率0.1MHz的頻率。但越接近產生電壓最高值的頻率，或是距離越遠，此現象會越不明顯。
（三） 頻率越低，產生最大電壓值與電壓隨距離衰減最慢的頻率會越接近。
推測可能和不同距離下，兩個線圈之導線因為高頻交流電會有其他效應互相影響，使得讓測量線圈產生最高電壓的頻率有些許偏差。
五、 實驗六中特定頻率的最高峰值不會出現在輸出與接收端距離最短的位置
（一）在特定頻率下，LC電路發生共振，感應出的電流較大，但在輸出端與接收端線圈距離很短的情況下，兩邊線圈的導線電流因為電流磁效應產生磁場，而影響了另外一端導線的電流分布，稱為鄰近效應。
（二）高頻交流電還會因為集膚效應的影響而使電流分布在導線表面，導線表面可能因為氧化的因素而電阻較大。
在這兩個現象的影響下，電流分布不均而導線的內電阻的影響較大，電流不為最大值，且電流所產生的磁場分布不均，使得近距離情況下的磁通量不如我們所預期的為最大值。而在距離約8cm的時候，因為距離增加，所以近場效應減少，接收端線圈電流較大，通過接收端線圈磁場也較大，使測量線圈產生電壓最高峰值。
六、 理論頻率與實際測量頻率之誤差來源
（一） 線圈可能同時具有電容值，但無法測量，並會對於理論頻率造成誤差。
（二） 外接電容值，頻寬較窄，測量線圈的電壓值下降較快，所取的資料點過少再加上理論值（分母）本身就較小，使相對誤差較大。
結論
一、 將LC電路作為接收端線圈組的一部分，感應輸出端磁場變化產生電流後，再透過互感使充電電路產生電動勢會有更好的傳輸效果。
二、 電容值越大時，其共振頻率下造成測量線圈的電壓峰值越突出，頻率改變，衰減速度也越快。
三、 不論外加電容值為何，都有一頻率接收端線圈磁通量隨距離下降的趨勢較為緩和，在距離超過13公分以後，測量線圈電壓值皆高於同組其他數據。
四、 在不同距離下，接收端線圈產生最大磁場變化量的頻率並不相同。
五、 相同輸出頻率下，接收端線圈的最大磁場變化量並不一定出現在距離最短的地方，而此類現象大約在距離7~8公分間會有最大值。
六、 應用：希望能找出一個能用簡單的電路增加無線充電距離的裝置，增加生活的便利性。
未來展望
1. 希望能利用更準確測量磁場大小及傳輸能量之設備探討此實驗之傳輸效率。
2. 希望能透過改變銅線材質及纏繞方式等，減少集膚效應與鄰近效應的影響，觀察是否會減少感應磁場大小並非隨距離下降的現象。
3. 希望能透過改變電感值及接收端線圈之直徑進行更深入的探討。
參考資料及其他
一、 鄭明良（1990）‧電磁學‧臺北市：文笙書局
二、 王俊凱；黃仁偉；葉泳蘭（2017）‧物理：電磁學與光學篇‧臺北市：全華圖書
三、 如何使用示波器量測電壓跟電流（2018年12月）‧取自http://www.sunholy.com.tw/epaper/NO.145/145.pdf
四、 Keysight（2018年12月）‧示波器基本原理‧取自http://literature.cdn.keysight.com/litweb/pdf/5989-8064ZHA.pdf
五、 André Kurs, Science, 83 (2007). Wireless Power Transfer via Strongly Coupled Magnetic Resonances, 317, 83-86